245
АЛГЕБРА
246
изводства действий над этой неизвестной вели­чиной было известно еще египтянам: в папирусе Ахмеса (2000 до хр. э.) встречается обозначе­ние искомой величины особым знаком, а также знаки сложения, вычитания и равенства. Ряд ач арифметического содержания, решение которых по существу является решением урав­нений, встречается у греческого математика Дио­фанта (3—4 в.), у которого находим и зачаточ­ные формы специфически алгебраической -сим-яолики. В греческой математике А. не полу­чила развития; вследствие резкого разрыва между арифметикой как наукой о целом числе и геометрией как наукой о непрерывных ве­личинах остался изолированным и ряд глубо­ких геометрических исследований греческих математиков, содержащих в геометрической фор­ме эквивалент решению квадратных уравне­ний и преобразованию радикалов.
Значительные результаты были достигнуты •з А. индусами, которые, усовершенствовав си­стему счисления, пользовались уже отрицатель­ными числами и нулем для выражения значе­ний направленных величин и в связи с задачами практической арифметики, геометрии и астро­номии умели составлять уравнения, преобра­зовывать и решать их в форме, часто очень близ­кой к современной: таково например правило Брахма-гупты (в 8 веке) для решения квадрат­ных уравнений. Арабские математики преиму­щественно разрабатывали Диофанта; сокра­щенных обозначений они не употребляли и все действия выражали словесным описанием. Арабы сыграли важную роль в передаче ре­зультатов греческой и индусской науки средне­вековым европейским математикам. Самое сло­во «А.» арабского происхождения. Средневеко­вые европейские математики продолжили рабо­ту арабов, введя в частности в обиход цифро­вое обозначение чисел. В 13 в. Иордан Немора-рий употребляет уже буквы для обозначения «е только искомых, но также и данных чисел. 8 16 в. итал. математикам Тарталья, Кардану и Феррари удалось найти способ алгебраиче­ского решения уравнений 3-й и 4-й степени. Гели в средние века развитие А. обусловли­валось преимуш. потребностями торговли и связанного с нею мореплавания, то дальней­ший прогресс А., приведший к переходу от А. постоянных величин к А. переменных, а отсю­да к дифференциальному и интегральному ис­числениям, был уже в значительной мере об­условлен возникновением машины (индустрия) а соответствующим развитием механики, по­ставившим перед математикой задачу отобра­жения движения. Внутри А. дальнейший про­гресс выразился раньше всего в развитии бук­венного исчисления и в преодолении противо­речий между арифметикой как наукой о целом числе и формальными операциями А. (приводив­шими к «невозможным», по тогдашней термино­логии, отрицательным, иррациональным и мни­мым решениям), с одной стороны, и геометриче-ской теорией величин—с другой. В этом про-цессе, тесно связанном с развитием понятия о числе, следует отметить франц. математика Вье-те,который впервые (1591) стал обозначать величины буквами, что означало по существу такое развитие понятия об (алгебраической) операции, при к-ром она получила возмож-ность отображать геометрические операции и отношения. При этом Вьет однако строго раз-лечил уравнения между числами от уравнений
между геометрическими величинами. Реша-
ющий шаг в данном направлении был сделан Декартом (1637), к-рый смотрел уже на уравне­ние как на общее выражение количественных связей и зависимостей, в том числе и геометри­ческих. Это дало новый толчок развитию а., получившей одновременно в методах аналити­ческой геометрии, широкое применение к раз­решению геометрических вопросов. Декарту же принадлежит систематическое употребление нуля как правой части уравнений, отчетливое понимание геометрического значения отрица­тельных корней и сохраняющая свое значение до сих пор теорема о числе положительных кор­ней алгебраического уравнения. Однако основ­ная роль Декарта в истории математики со­стоит в введении им понятия «переменно й величины, благодаря чему»,—говорит Энгельс, «в математику вошли движение и диалектика и благодаря этому же немедленно появилась не­обходимость в дифференциальном и интеграль­ном исчислении, зачатки к-рого вскоре были за­ложены». Развитие А. создало т. о. предпосыл­ки к открытию дифференциального исчисления.
С этого времени задачи А. как научной дис­циплины сулсаются и группируются преиму­щественно около вопросов о решении таких уравнений, в к-рых над неизвестными величи­нами производятся действия сложения, вычи­тания и умножения (включая возвышение в це­лую степень), т. наз. «алгебраических уравне­ний». Левая часть такого уравнения с одним не­известным х представляет т. о. многочлен, или «полином», типа а0хп -f- a{Rn'x + ... + а^х + ап, называемый иначе целой алгебраической функ­цией от х. В начале 19 в. Гауссом была внесена ясность в вопрос о значении мнимых чисел и мнимых корней уравнения и доказана теорема о существовании корня алгебраического ура­внения любой степени, называемая иногда ос­новной теоремой А. Многочисленные попытки найти решение уравнений 5-й степени нашли завершение в доказанной Абелем теореме о невозмоллюсти разрешения уравнения 5-й сте­пени в общем виде с помощью первых шести алгебраических действий. Тот же вопрос об ал­гебраическом решении уравнений привел фран­цузского математика Галуа к ряду чрезвычайно глубоких, вызвавших к жизни новую область математики (теорию групп), исследований, в результате которых удалось установить совер­шенно общие методы алгебраического решения уравнения для тех частных случаев, когда это возможно, и обнаружить невозможность тако­го решения в остальных случаях.
Неудача всех попыток разрешить уравнения выше 4-й степени путем алгебраических опера­ций привела еще в 17—18 вв. к развитию мето­дов приближенного решения уравнений выс­ших степеней и связанному с этим детальному изучению целых алгебраических функций (по­ли помов) и действий над ними. Работа в этом направлении продолжалась в 19 веке, и в наст. время этот класс функций является одним из наилучше изученных, а вопрос о приближен­ном решении числового уравнения любой сте­пени практически разрешенным.
Задача о решении систем уравнений первой степени со многими неизвестными, впервые разработанная и решенная в 18 веке француз­ским математиком Безу, также получила окон­чательное оформление с помощью теории детер­минантов (19 век.), в связи с которой потом развилась обширная теория инвариантов, тео­рия алгебраических форм и теория матриц.



Запрещено использование материалов в коммерческих целях.
Вся информация представлена только для ознакомления.