833 ТРИГОНО ME ТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ—ТРИГОНО ME ТРИ Я 834

длины, водится в Средиземном море и Атлантическом океане. Мясо идет в пищу.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ. Изучение многих явлений природы приводит нас к исследованию периодически повторяющихся колебаний (см. Период, Колебательные движения). Так, звук получается вследствие колебаний частиц воздуха, изучение света и электричества приводит нас к исследованию электромагнитных волн и т. п. В периодических колебаниях выделяют обыкновенно основной тон и ряд обертонов. Математически периодические движения выражаются периодическими функциями, т. ѳ. функциями, значения к-рых повторяются через определенный промежуток независимого переменного. Выделению из пе-. риодического колебания основного тона и ряда обертонов математически соответствует представление периодической функции f (х) с периодом, равным 2 т, в виде бесконечного ряда синусов п косинусов, а именно:

f(x) = ^ + a1cos ^і+ b,sin ^і + Я| cos-|[x +

+ Ь, sin + ... + a„ cos ^ x +

, ,    ПЖ

-f bnsin--x + ...

771

Этот ряд наз. Т. р., плп рядом Фурье. Коэффициенты его вычисляются по формулам:

т

°» = wj fWcos шхах'

—тп

771

Ьп = — Г 1 (х) sin х dx.

п in J ' v 1 m —m

Открытие Т. p. (Фурье, 1822) имело очень большое значение не только для физики и техники (изучение колебаний валов, мостов и т. п.), но и для математики: оно показало, что.разрывная периодическая функция может быть представлена в виде бесконечной суммы непрерывных функций (синусов и косинусов), и привело к уточнению и расширению понятия функции.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. Возьмем угол ВОА=а и нз вершины его (О) как из центра опишем окружность произвольным радиусом. Проведем в этой окружности два диаметра: ВВ', совпадающий с одной из сторон угла, и перпендикулярный ему ЕЕ’, и две касательные BD и EF в точках В н Е окружности; буквами D,

F л А обозначены точки пересечения этих касательных со стороной О А угла а. Проекция ОС радиуса 0.1 на диаметр ВВ' наз. линией косинуса угла а. Проекция ОК того же радиуса О А на диаметр ЕЕ' наз. линией синуса утла а. Отрезок BD касательной, проведенной в точке В, наз. линией тангенса угла а. Отрезок EF второй касательной наз. линией котанген-с а угла а. Отрезок 0D стороны ОА, заключенный между вершиной утла О и касательной BD, наз. линией секанса угла а. Отрезок OF стороны О А, заключенный между вершиной угла О и касательной EF, наз. линией косеканса угла а. Отношения этих шести линий к радиусу окружности О А наз. соответственно косинусом (cos), синусом (sin), тангенсом (tg), котангенсом (ctg), секансом (sec) и косекансом (cosec) угла а. Эти отношения, зависящие от величины угла а, наз. Т. ф. этого угла. Они связаны между собой следующими зависимостями:

Sin! а -)- COS2 а = 1; tg а = —п а; ct" аcos а-

^    COS а*    ° Sin а’

sec а =    cosec а = -1

COS а    gin а*

Отдел тригонометрии, исследующий свойства

1. ф., называется гониометрией.

ТРИГОНОМЕТРИЯ—часть геометрии, изучающая зависимость между сторонами и углами треугольников. Первоначально возникла у древних греков в связи с потребностью решения конкретных задач, пре- в имущественно астрономических; в настоящей форме она впервые была разработана а индусскими и арабскими математиками, к-рые ввели понятие о тригонометрических функциях—синусе, косинусе, Рис. 1. тангенсе, котангенсе, секансе, косекансе (см. Тригонометрические функции) — и их свойствах. Исследованием этих свойств занимается 1-й отдел Т.—гониометрия. Собствен-в    но Т.разделяется на Т. плос

кую, занимающуюся вычислением элементов (решением) плоских треугольников, и сферическую, занимающуюся решением треугольников, образованных большими кругами на сфере (сферических); в сферических треугольниках стороны, как и углы, одинаково выражаются в угловых мерах (градусах или радианах), т. к. ооычно радиус сферы принимается за единицу. Для решения прямоугольных треугольников (плоских) употребляются след, основные формулы (рис. 1):

a = csin^l; a = bigA\ а = с cos В; a = bctgB; e* = as + Ь*.

Для решения прямоугольных сферических треугольников служат след, правила Непера: если мы в прямоугольном сферическом треугольнике (рис. 2) заменим катеты о и Ь их дополнениями до 90э (90° - о п 90е - Ь) и не будем считать прямой угол, то косинус каждого элемента равен произведению котангенсов прилегающих к нему эле- . Рис. з. ментов или произведению синусов неприлегаю-пшх элементов. Основные формулы для решения косоугольных треугольников (рис. 3) дают теоремы синусов и косинусов. Теорема синусов 1) на плоскости:

а Ь с sin А ~ sin В ~ sin С*

2) на сфере:

sin a sin Ъ sin с sin А ~ sin В ~~ sin С*

Теорема косинусов 1) на плоскости: сг = а1 -і- Ь* — 2ab cos С;

2) на сфере:

cosc = coso • cos b -f sin a • sin b ■ cos C.

На практике последние формулы обычно за-


М. С. Э. m. X.

27



Запрещено использование материалов в коммерческих целях.
Вся информация представлена только для ознакомления.