85-3    ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ    854

Указанные вычисления обычно производят нѳ для нѳк-рого численно заданного момента t (как мы это делали в данном примере), а для любого момента t. Промежуток времени, в течение к-рого измеряется путь, называют приращением времени и обозначают через М (в нашем примере Д=0,1 сек., 0,01 сек., 0,001 сек.,...), а пройденный за это время путь, равный s(i+A{) —s(t) или в нашем примере

дц+му-— уt~у называют приращением пути и

обозначают через As (в нашем примере As = =6,05 м, 0,6005 м, 0,060005 м и т. д.). Т. о. истинная скорость есть предел (limes), к к-рому стремится средняя скорость, т. е. отношение приращения пути к приращению времени, когда приращение времени стремится к нулю.

Это записывают так: ѵ = ііред.или ѵ=1іт

Д(->-0Д[    ді -»о 1

Так, если подсчитать, то окажется, что скорость свободно падающего тела для любого момента t равна gt (или грубо 10 £)•

Зависимость пути от времени, к-рая в нашем примере была выражена формулой s = а-[у , при других законах движения выражается иными формулами (напр, для колебаний маятника s = a cos y tj. Она представляет частный случай функциональной зависимости (см. Функция) двух переменных у и х, к-рая в общем случае записывается так: y=f(x). По аналогии с движением здесь можно говорить о скорости изменения функции. При изменении независимого переменного от х до z+Дх функция изменяется от f(x) до f(x+Xt). Разность между измененным значением функции и ее начальным значением наз. приращением функции [Ду = = f(x+±x)—f(x)]. Рассмотрим в виде примера функцию f(x)=x3-2x + 1 и положим, что начальное значение независимого переменного х равно 2, а его измененное значение — 2,01; в таком случае начальное значение функции (2)=23—2-2+1 = 5, а ее измененное значение Я2,1)=2,01*—2-2,01+1 = 5,100601. Приращение независимого Дж, переменного в этом примере, равно 0,01, а приращение функции ііу (или Д/) равно 0,100601. Ясно, что величина приращения функции зависит от начального значения независимого переменного, от величины его приращения и от вида функции. Под средней скоростью изменения функции понимают отношение приращения функции Ду к приращению независимого Лх. Предел этого отношения, когда Да; стремится к нулю, называют производной и обозначают так: у', или

или f'(x), или ~ . Таким образом

✓-g- lim£= Нт'*±*М>.

ax Дл»и “ 4jc-»0    ■“

Производные обычно вычисляются не с помощью пределов, а по раз навсегда выведенным формулам п правилам. Вот 12 важнейших из них: 1) (а?*)'=пж“-1; 2) (sin x)'=cosx; 3) (cos х)'=

=—sin аг; 4) (In ж)' = | ; 5)(е*)' = е*; 6) (arcsina;)' = = ^== ; ~) (arctg х)' = ; 8) (иѵ)'=иѵ'+ѵи';

9) (-г)'=ц l~F u ; 10) производная от постоянного равна нулю; 11) производная суммы равна сумме производных; 12) правило нахождения производной от сложной функции: пусть у = =/(м); и =<р(,х),причем х—независимое переменное; тогда у =f |>(а;)] есть сложная функция от х. Производная от у по х в этом случае вычисляется по формуле:

dy _ dy du-

dx~ dudxv

Из сказанного ясно одно из механических значений производной: производная от пути по времени дает нам скорость. Аналогично этому производная от скорости по времени дает ускорение. Производная имеет большие приложения также и в физике: напр, теплоемкость вычисляется как производная по темп-ре от количества тепла, необходимого для нагревания тела; чрезвычайно важное значение имеет также приложение производной к геометрии, основанное на след, теореме: тангенс угла, образованного осью Ох с касательной (так называемый наклон касательной) к кривой у = f(г), проведенной в точке М(хи 2/х), равен значению производной у[ = ('(х^ в точке M(xlt 2/г), т. е.

а = хі)- Эта теорема легла в основу математической дисциплины, наз. дифференциальной геометрией.

Кроме производной большую роль в Д. и. играет понятие о дифференциале функции. Положим, нам надо найти изменение функции у = f(x) при каком-либо заданном изменении независимого переменного. Это изменение функции называется ее приращением Ду и вычисляется по формуле \y=f(x+bx)-f(x). Однако вычислять изменение функции по этой формуле сложно и неудобно, и поэтому вместо приращения функции вычисляют приближенно равное ему произведение f'(x)\x. Это произведение называют дифференциалом функции и обозначают через dy или df, а входящее в эту формулу приращение (т. е. изменение) независимого переменного называют дифференциалом независимого переменного и обозначают через dx. Т. о. дифференциал функции равен производной от этой функции, умноженной на дифференциал независимого переменного, т. е. df=f'(x)dx. При очень малых изменениях независимого переменного ошибка, получающаяся при замене приращения функции ее дифференциалом, является величиной весьма малой даже по сравнению с изменением независимого переменного. Так, в рассмотренном нами выше примере приращение Д^/ =0,100601, значение производной [т. е. значение f'(x)=Зге2—2 при х=2] равно 10, а дифференциал df =10-0,01 = =0,1. Ошибка, которую мы сделаем, замени;, приращение функций ее дифференциалом,рьзн 0,000601, т. е. мала даже по сравнению с прир -щением независимого переменного. Это выражают, говоря, что разность между диффер-гЕзга -лом и приращением функции есть беск нечнс-малая высшего порядка относительно дифференциала независимого переменного. Для боже точного вычисления приращения функция служит ряд Тейлора. Д. и. исследует изменение функции не только одной, но и me гнх пер-емт ных, для чего вводятся понятия частных н полных производных и полных дифференциалов.







Запрещено использование материалов в коммерческих целях.
Вся информация представлена только для ознакомления.