97
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОПОРЦИЯ—ГЕОМЕТРИЯ
98
•нов такой прогрессии также возрастает, ~оль угодно близко приближаясь к некоторо­му числу—пределу этой суммы, который в дан­ном случае называется суммой членов беско­нечно убывающей Г. п. Эта сумма выражает­ся формулой: S = г~
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ q ПРОПОРЦИЯ — равенство ух геометрических отношений:- — --; напр.
1=6:3. Числитель первой и знаменатель вто­рой дроби наз. крайними членами пропорции (в нашем примере 8 и 3). Два др. члена (4 и 6) наз.
одними членами пропорции. Основное свой-тво Г. п.: произведение крайних членов Г. п. авно произведению средних членов: ad=be.
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО—совокупность всех точек, обладающих к.-н. общим свойством. Так, Г. м. точек, равно удаленных от. одной точки (центра) на плоскости, есть окружность, а в пространстве—сфера. Г. м. точек, равно удален­ных от концов отрезка на плоскости, есть пер­пендикуляр, проходящий через середину отрез­ка, а в пространстве—аналогичная плоскость.
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОТНОШЕНИЕ двух чисел а и Ь—число q, на к-рое нужно помножить одно из них Ь (последующее), чтобы получить другое а (предыдущее). Геометрическое отно­шение обозначается так: 8 = г-
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ СРЕДНЕЕ нескольких чи­сел ог, а2, а3, ..., ап есть число р, равное
\/ах ■ аг ■ <ц ... ап; например Г. с. 3, 8 и 9 равно
f/З . 8 ■ 9 = 6. Г. с. двух чисел р = \/а12 наз-также средним пропорциональным между эти­ми числами, потому что оно удовлетворяет
пропорции — = — . Г. с. нескольких чисел всег­да меньше их средней арифметической; исклю­чение представляет только тот случай, когда все числа равны между собой.
ГЕОМ Е'ТРИЯ (буквально — землеизмерение). Это название указывает лишь на происхожде­ние науки. Под словом Г. разумеют науку о пространственных формах. Первые дошедшие до нас геометрические сведения зародились в Вавилонии и Египте. В Вавилонии Г. зароди­лась под влиянием потребностей астрономии, в Египте—в связи с измерением земли. Сведения эти носили повидимому отрывочный характер и добывались чисто опытным путем, к-рый при­водил нередко к ошибочным результатам. Све­дения аналогичного характера имелись так же в Китае и Индии. Лишь в Греции Г., проник­шая туда из Египта (7 в. до хр. э.), начала при­обретать более научный характер. Здесь более сложные геометрич. предлоя-сения начали дока­зывать путем логических выводов из общих по­ложений. Греческий геометр Евклид, подытожи­вая знания своих современников (3 в. до хр. э.), написал руководство по Г. под названием «На­чала». Некоторые представления о «Началах» Евклида дают соврем, учебники, систематиче­ски излагающие элементарную Г. Изложение Г. у Евклида весьма стройно, причем струк­тура Г. в основном не отличается от современ­ной. А именно: в основе Г. лежат определения и аксиомы, из к-рых путем логических выводов и построений выводятся все предложения Г. (теоремы). Определения получились путем аб­страгирования свойств реальных тел (или их границ), к-рые определяют их форму. Отбрасы­вая несущественные свойства, они делают бо­лее выпуклыми основные, общие свойства тел.
Я. С. Э. т. III.
Аксиомы выражают основные свойства геоме­трических объектов. Они являются абстракцией от свойств реальных тел, свойств, первоначаль­но добытых чисто опытным путем. Евклид из­лагал Г., совершенно не вводя метрику, т. е. не вводя чисел, измеряющих отрезки в определен­ном масштабе. Метрика вошла в Г. только по­сле работ Архимеда, которого на этот путь на­толкнули задачи физики и механики.
Объем знаний греческих геометров ограничи­вался в области планиметрии (изучающей свой­ства фигур на плоскости) свойствам л прямых, треугольников, многоугольников, окружностей, конических сечений и отдельных, более слож­ных кривых, а в области стереометрии (предме­том к-рой служат пространственные тела)— примерно объемом наших курсов элементарной Г. В области тригонометрии—прямолинейной и сферической—были составлены таблицы сину­сов и доказан ряд теорем, имеющих приложение в астрономии. ОМетод греческих геометров был синтетическим. С упадком греческой культуры Г. долго не приобретала ничего существенно нового. Только в 17 в. работы франц. математи­ков Ферма и Декарта положили начало анали­тической геометрии, установившей связь между Г. и алгеброй. Подкрепленная анализом бес­конечно-малых (дифференциальное и интеграль­ное исчисление), аналитическая Г. стала быстро развиваться, отвечая на все возраставшие за­просы физики и механики. Само возникновение анализа бесконечно-малых было тесно связано с задачами Г. Задача о проведении касательных к линиям и поверхностям, исследование кри­визны их, определение длины, площадей, объе­мов криволинейных фигур, общие методы иссле­дования кривых, а позднее (19 в., Гаусс) общая теория поверхностей—все это разрешается той частью аналитической Г., которая неразрывно связана с анализом бесконечно-малых, а по­тому и получила название диференци-а л ь н о й Г. В начале своего развития анали­тическая Г. совершенно заслонила синтетиче­скую. Но необходимость создания методов изоб­ражения тел, необходимость, вызванная потреб­ностью практики, возродила синтетические ме­тоды. В конце 18 в. Монж завершил работы по созданию начертательной геометрии, а Понсе-ле, Штейнер, Штаудт и др. создали т. н. проек­тивную геометрию. К этому же периоду отно­сятся работы Лобачевского, Гаусса и Больяй по созданию т. н. неевклидовой Г. Геометрия Евклида в числе своих аксиом содержала т.н. «V постулат», к-рый можно формулировать так: через всякую точку, лежащую вне прямой, мо­жно провести параллельную ей прямую и при­том только одну. Попытки очистить систему аксиом Евклида от лишних, т. е. таких, к-рые могут быть доказаны математически на основа­нии остальных аксиом и, значит, по существу являются теоремами, с давних времен были на­правлены на доказательство «V постулата». Все эти попытки не имели успеха. Лобачевский по­шел по иному пути, бн построил Г. без этой аксиомы, т. е. предположил, что через точку вне прямой можно провести более одной пря­мой, параллельной данной прямой. Получив­шаяся ОТ. (неевклидова геометрия) не уступает в стройности обычной Г. Но ее выводы во мно­гом расходятся с выводами Г. Евклида. Напр. сумма углов треугольника в Г. Лобачевского не равна 180°. Лобачевский, создав свою Г., не смог все же доказать независимость «V посту­лата» от остальных аксиом. Эту работу, а так-



Запрещено использование материалов в коммерческих целях.
Вся информация представлена только для ознакомления.