303    ЛИНЕЙНЫЕ МЕРЫ—ЛИНЗА    304

рис.) • Однородная Л. ф. 1/ = пропс района льна независимому переменному, и Л. ф. можно рассматривать как обобщение пропорциональной зависимости. Л. ф. двух переменных =ах + Ьу+с геометрически соответствует плоскость. Л. ф. одного и двух переменных подробно изучаются в аналитической геометрии.

ЛИНЕЙНЫЕ МЕРЫ — служат для измерения протяжения (длины). Основой Л. м. в СССР принят метр. См. Метрическая система мер.

ЛИНЕЙНЫЕ СУДЫ—в СССР специальные ж.-д. суды для борьбы с преступностью на ж.-д. транспорте. См. Транспортные суды.

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ—уравнения, в которые неизвестные входят в первой степени. Л. у. с одним неизвестным имеет вид:

ах = Ь;    (1)

здесь а и 6—заданные чгсла, а х—неизвестное. Напр.: Зж= —7. Заданное уравнение может иметь и более сложный вид, напр.:

Ух - 1 _ У23С+ 2 .

У2х - -г У~х~+ 1 ’ некоторые из таких более сложного вида уравнений можно привести к виду (1) после алгебраических преобразований. У равнение (1) имеет решение (если афО)\ х = ^.

Л. у. с двумя неизвестными имеет вид:

ах + Ьу — с    (2)

и у—неизвестные). Это Л. у . имеет бесчисленное множество решений, т. к., придав х произвольное значение х1 и решив уравнение относительно у, мы найдем значение У1 = —^ *1— ^ ,

к-рое вместе с х1 будет удовлетворять Л. у. ОI).

Положим, что мы имеем не одно Л. у., а систему из двух Л. у. с двумя неизвестными:

а1х+Ъ1у = с1    (За)

а2х+ Ъ2у = с2.    (36)

Эту систему можно решать двумя способами-:

1) Способ подстановки. Одно из Л.у. решают относительно у, т. е. пишут:

У = — ^ х + ~, и полученное значение у подставляют в другое Л. у.:

(НХ-Ъ1£х+

Мы получили Л. у. с одним неизвестным. После приведения подобных членов, перенесения известных в одну сторону и умножения обеих частей Л. у. на 62 мы найдем:

(й]6з 6^) л: — с^б^—6хс,.

(4)

Следовательно,

х_ с,Ьг-Ь,с, &1 &2 — ^1^2

(4а)

Подставляя это значение х в выражение для у,

найдем значение ?/ удовлетворяющее системе (3):

_ а]С2 - а2с,

® '

(46)

Решим, например, систему:

2ж + 3 у = —1

(5а)

Зж + 22/= 1.

(56)

Из Л. у. (56) найдем:

*~4*+у-

(6)

Подставляя это значение в Л. у. (5а), по-

9    3

лучим, что 2ж —— ж + — = —1, следовательно,

х — 1. Из (6) следует, что

г/=-т + т=-1-

2) Способ уравнивания коэффициентов. Пер-вое Л. у. умножается на коэффициент (62) при у во втором Л. у., а второе Л. у. на коэффициент г) при у в первом Л. у. Мы получаем при этом два Л. у., у к-рых коэффициенты при у равны. Так, в предыдущем примере (5) после умножения будем иметь Л. у.:

4х + 6у = — 2    (7а)

9х + 6у = 3.    (76)

Вычитая пз второго Л. у. первое, мы приходим к Л. у. относительно одного неизвестного (а:). В нашем примере: 5х = 5, откуда х = 1. Аналогично можно определить у.

Существуют еще и другие способы решения Л. у. со многими неизвестными.

Система двух Л. у. с двумя неизвестными^ но всегда разрешима: 1) она может не иметь ни одного решения. Такая система называется несовместной или противоречивой, например система х + у = 1(8а), 2х + = 3(8Ъ) несовместна. 2) Она может иметь бесчисленное множество решений. Такая система называется неопределенной, а сами Л. у. зависимыми. Пример: система х + у = 1 (9а), 2* + 2» = 2 (96) неопределенна, так как Л. у. (96) есть следствие Л. у. (9а).

Система трех (и вообще п) Л. у. с тремя (и) неизвестными разрешается способом подстановки. Общий способ исследования и решения системы Л. у. с и неизвестными дает теория определителей.

Понятие линейности уравнений переносится с алгебраических уравнений на уравнения из других областей математики. Так, линейными дифференциальными уравнениями наз. дифференциальные уравнения, в которые неизвестные функции и все их производные входят линейно, т. е. в первой степени. Линейные дифференциальные уравнения играют большую роль в физике и особенно в теории колебаний.

Лит.: К нселе в А., Алгебра, Учебник для... средней школы, иод ред. А. Барсукова, ч. 1—2, 13 изд., М., 1936; Улановский В., Элементарные сведения из теории определителей, Госиздат, М., 1935; любой курс высшей алгебры, напр. Шапиро Г., Высшая алгебра, Москва, 1936.

ЛИНЕЙНЫЙ—относящийся к линии, к длине (линейная мера). Линейные войск а— предназначенные для действия в строю (линейная пехота).

ЛИНЕЙНЫЙ КОРАБЛЬ, линкор—сильно бронированное военное судно, имеющее самую крупную артиллерию. См. Корабли военные.

ЛИНЕЙНЫЙ УГОЛ ДВУГРАННОГО УГЛА—см.

Двугранный угол.

ЛИНЕЙЧАТАЯ ПОВЕРХНОСТЬ —поверхность, образованная движением прямой линии. Примерами Л. п. служат коническая, цилиндрическая, винтовая поверхности.

ЛИ'НЗА (нем.), 1) чечевица, оптическое стекл о—прозрачное тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями или одной плоскостью и одной криволинейной поверхностью. Л. являются основной частью оптических приборов. Готовятся чаще всего из стекла; в тех случаях, где требуется прозрачность для ультрафиолетовых или инфракрасных лучей,— из кварца, флуорита, каменной соли. Форма криволинейных поверхностей обычно сферическая, хотя иногда для специальных целей шлифуют Л. с несферическими поверхностями.






Запрещено использование материалов в коммерческих целях.
Вся информация представлена только для ознакомления.