641    МАТЕМАТИКА    648

данной массы газа; это—зависимость Мариот-таГей-Люссака. Абстрагируясь от численной стороны этого дела, М. называет всякое соотношение, при к-ром определенным значениям одной или нескольких величин отвечает определенное значение другой (от них зависящей) величины, функциональной зависимостью. Создать функции, могущие численно выразить зависимости, к-рые царят в природе, к-рые приносят с собой практическая жизнь и культура, приспособить их к исследованию этих зависимостей—вот главная задача новой М. Алгебра принесла простейшие (т. н. алгебраические) функции, но они составляют весьма ограниченный класс функций. Из тех, к-рые выходят за ее пределы, из т. н. трансцендентных функций, в пору появления этих идей {16 в.) существовали только тригонометрические (sin ж, cos я, tga:, arcsin ж) и показательные (ах), обращение которых скоро привело к логарифмическим функциям. На более высокие требования ответила более мощная отрасль М. —математический анализ. Его задачам, казалось бы, могла прежде всего служить геометрия. Обыкновенные диаграммы выражают геометрически ту или иную функциональную зависимость. Кривая на нашем рисунке показывает, как изменяется давление нек-рой массы газа, когда у    он расширяется или сжимает

ся при постоянной температуре. Отрезок х (абсцисса) численно выражает объем газа, у (ордината)—давление. Кривая показывает, как быстро давление возрастает, когда газ силь-. о    *но сжимается (х становится


весьма малым), и как оно падает с расширением газа (с увеличением х).

В наст, время, когда потребность в наглядном изображении многочисленных соотношений в практической жизни значительно возросла, сложилась даже особая математическая дисциплина — номография, вырабатывающая правила наиболее наглядного изображения функциональных зависимостей. Но в ту пору, когда все наглядные средства и указания глаза казались уже до отказа использованными древними и стремления были направлены к разысканию более надежных методов, умонастроение было другое; Декарт увенчал свои «Рассуждения о методе» замыслом, представляющим, в известном смысле, обращение того, что дает диаграмма. Кривая на нашем рисунке изображает функцию, к-рая связывает две величины, численно выражаемые абсциссой х и ординатой у. Если бы, обратно, функциональная зависимость была задана математически (в нашем

случае У=^, где с—постоянная), то она дала бы

возможность воспроизвести кривую и, следовательно, содержала бы все средства для исследования кривой. Устанавливаемая таким образом эквивалентность между функциональной зависимостью и геометрическим образом дает возможность исследовать его средствами анализа. Эта идея оказалась чрезвычайно плодотворной и привела к созданию обширной новой ветви М.—аналитической геометрии, в к-рой были привлечены все средства анализа, придавшие методам аналитической геометрии необычайную общность.

Та часть аналитич. геометрии, к-рая изучает образы, соответствующие алгебраическим фун-кция«1, составляет алгебраическую геометрию;

первые вводные ее главы уже охватывают почти все содержание греческой М.; геометризацию алгебры сменила алгебраизация геометрии. Декарту казалось, что он дал средства для решения любого геометрического вопроса. Но он переоценил мощь анализа, к к-рому теперь предъявлялись все более и более высокие требования. Нужны были новые пути для исследования функций во всем их многообразии,— их проложили в 17 в. Лейбниц и IIмотом.

Сущность исследования функции заключается в установлении ее «хода», т. е. скорости ее изменения, ее нарастания, прохождения через максимум, убывания, достижения на этом пути заданных значений. Алгебра 16 в. решала эти вопросы, так сказать, путем обозрения функции на всем диапазоне ее изменения, в лучшем случае разбивая ее на нек-рое конечное число участков. Это лежало в существе алгебраического метода; но в этом охвате чрезмерно широкого диапазона, на протяжении к-рого сложная функция может в различных частях вести себя чрезвычайно различно, совершенно ускользая от общпх норм, заключалась слабая сторона метода. Идея Лейбница и Ньютона заключалась в том, чтобы этот диапазон разбить на весьма малые интервалы, установить «ход» функции (скорость ее изменения) в каждом таком интервале, проследить, как эта скорость изменяется, когда интервалы становятся вое меньше и меньше, установить предел, к к-рому она стремится в каждой точке, когда содержащий ее интервал «становится бесконечно-малым», т. е. стремится к нулю; эта предельная скорость в каждой точке называется производной первоначальной функции и, вообще, меняясь от точки к точке, представляет новую функцию. Эта новая функция допускает свою производную (производную ‘.'-го порядка) н т. д. К исследованию функции привлекается, т. о., неограниченный ряд новых функций, в очень широких пределах разрешающих вопросы, связанные с ее изучением. Этот процесс разложения функции на бесконечно-малые части и есть, собственно, тот «анализ», к-рый возглавил новое направление в М. Его называют также дифференцированием (см. Дифференциальное исчисление), а обратный процесс воссоединения этих бесконечно-малых элементов в функцию всего диапазона называют интегрированием (см. Интегральное исчисление); эта обратная задача равносильна разысканию исходной функции по ее производной. И этот замысел, конечно, возник не внезапно. По существу, им пользовался уже Архимед, недавно открытое сочинение к-р’ого («Эфодик») обнаруживает, что он умел им пользоваться с необычайным искусством. В эпоху Возрождения Кеплер, Каваль-ери, Ферма очень близко подходили к этим идеям. Заслуга Лейбница и Ньютона заключалась в широкой общей постановке метода, в изыскании общих правил дифференцирования и интегрирования. А успешные шаги в разрешении этих задач знаменовали не только начало новой, высшей М.,—они составили этап нового естествознания, новой высшей науки. В геометрии, в механике, в астрономии, в физике— всюду, где точные средства М. могли получить применение, этот метод расщепления изучаемого объекта на бесконечно-малые элементы— дифференциальное изучение элемента и восхождение к целому путем интегрирования—сделался самым мощным средством исследований; на фундаменте исчисления бесконечных были




Запрещено использование материалов в коммерческих целях.
Вся информация представлена только для ознакомления.