C49    U А ТЕМАТИКА

возведены здания дифференциальной геометрии, аналитической механики с ее старшей дочерью — небесной механикой, — теоретической физики, позднее—физической химии.

Понятие функции было в дальнейшем еще более обобщено: начали рассматривать переменные величины, численные значения которых зависят от задания некоторой функции; эта меняющаяся функция служит в данном случае как бы аргументом. Напр, площадь, ограниченная замкнутой кривой данной длины, зависит от формы этой кривой; форма кривой обычно задается ее уравнением* f{x, у) = 0. Таким образом площадь (число) в этой задаче зависит от задания функции f(x, у) (см. Вариационное исчисление). Масса неоднородного тела, имеющего форму шара радиуса а, зависит от того, по какому закону распределяется плотность в тела, занимающего данный объем, т. е. от нек-рой функции: g = g (х, у, г). Величина, значение к-рой определяется заданием нек-рой функции, наз. функционалом. Исследование функционалов разрослось в настоящее время в очень обширную дисциплину как аналитического, так и геометрического характера — в функциональный анализ. Классический анализ вкрапливается в эту обширную дисциплину как простейший частный случай.

Но из самых недр новой М. вновь нарастали глубокие противоречия частью методологического, частью фактического свойства. Волна новых идей так захватила математиков 18 в., достижения развертывались с такой головокружительной быстротой, что новые завоевания недостаточно закреплялись. Бесконечномалые элементы представляют необычайно тонкий материал, и прочное сооружение можно из них строить только при крайне осторожном с ними обращении; а в жадном увлечении успехом этой осторожности не проявляли даже такие гениальные строители, как Эйлер. Поэтому стали обнаруживаться и накопляться противоречия, смущавшие одних, вызывавшие справедливое недоверие в других, крепнувшую иронию третьих. В конце 19 в. франц. математик Флери написал целую книгу, в которой показывал, до каких нелепых результатов можно дойти, следуя методу Лейбница и Ньютона. Одновременное этим было обнаружено, что общепризнанная в то время геометрия Евклида не является единственной, что возможны другие, неевклидовы геометрии. Построенная (Лобачевским и Болиап) новая геометрия б.м-ла столь своеобразна, что многие современники ее не хотелп признать. Построение ее требовало тонких логических рассуждений. Фундамент М. не был достаточно прочен; одно время казалось, что он начинает шататься. Все это заставило ученых произвести пересмотр всех основ М., начиная с элементов арифметики и геометрии. Они поставили себе задачей претворить М. в безукоризненную цепь логических рассуждений. К разрешению этой задачи были приложены очень большие усилия. Особенно много сделали в этом направлении Гаусс, Абель, Коши, Вейерштрасс и на рубеже 20 в,—Гильберт. Настойчивая работа мысли выявила слабые места и пробелы; эти недочеты, часто очень серьезные, были исправлены п восполнены, и М. вышла из этого пересмотра неизмеримо более прочной. Более того, по пути этих исканий было обнаружено, что классические системы М. отнюдь не

единственные, что возможны другие системы геометрии, алгебры, совершенно отличные от тех, к-рые так естественно исторически сложились. Причудливые новые системы неевклидовой , неархимедовой, сейчас даже неримановой геометрии, выросшие из чистой абстракции, полные философского интереса, нашли себе реальное осуществление и оправдание. Конца наука не знает; эти вопросы все-таки уперлись в тонкие вопросы логики, для разрешения которых строится своеобразное объединение М. и логики — математическая логика.

В области геометрии преобладание аналитических методов вызвало трудности иного рода. В аппарате формул, аналитических преобразований и числовых операций тонул геометрический образ. А общие методы, на к-рых Декарт хотел построить аналитическое решение всякой задачи, давая для этого действительно руководящие указания, отказывались служить в сложных частных случаях. Преодоление этих противоречий в 19 в. направило геометрическое исследование вновь по руслу синтетической, чйсто геометрической мысли. Этими средствами были развернуты различные отрасли изобразительной геометрии—теория перспективы, начертательная геометрия с аксонометрией, имеющие задачей такое изображение на чертеже объектов, подлежащих техническому осуществлению (зданий, деталей, машин), по к-рому их было бы возможно точно воспроизвести. Эти дисциплины, ведущие начало еще от Леонардо да Винчи и Дюрера, при огромном развитии техники получили в проектировании чрезвычайно большое значение. К ним присоединилась графическая статика, явившаяся результатом преодоления тех же трудностей в аналитической механике. Из метода проектирования возникла проективная геометрия—учение о всех геометрических свойствах, не изменяющихся при центральном проектировании. Эта дисциплина с преобладающим теоретическим направлением в деле охраны чистоты геометрического метода ушла дальше тенденций Евклида. Выросшая в недрах евклидовой геометрии, она позднее срослась с неевклидовой геометрией, более того, послужила наиболее прочной базой ее осуществления. Однако, наиболее глубокие противоречия между тенденциями анализа и их осуществлением, до нек-рой степени остановившие его победоносное шествие, лежали в другой плоскости. Выполнение задач дифференциального исчисления не представило никаких затруднений: дифференцирование данной функции не усложняет, а упрощает ее. Но интегрирование сопряжено с огромными затруднениями. Обычно оно приводит к гораздо более сложным функциям, нежели исходные; выполнение его при помощи комплекса функций, к-рым М. располагала в пору развертывания анализа, было осуществимо только в очень ограниченном числе простейших случаев. Как только мы выходим за эти пределы, интегрирование требует новых, нам неизвестных функций. Мы, правда, располагаем и здесь средствами приближенного вычисления, но они не дают того, что часто наиболее ценно, -— возможности общего и всестороннего исследования результатов. Преодоление этих противоречий представило наибольшие затруднения; М. сделала в этом направлении только первые шаги. Путь, по которому она здесь пошла, заключался в созда-





Запрещено использование материалов в коммерческих целях.
Вся информация представлена только для ознакомления.