981    МНОЖЕСТВО—мол    982

тию равночисленности для конечных М. Таким понятием было введенное им понятие эквивалентности М. Два М. называются эквивалентными, если между элементами их можно установить взаимно однозначное соответствие, т. е. такое соответствие, при котором каждому элементу первого М. отнесен один, и только один, элемент второго и обратно — каждому элементу второго М. — один, и только один, элемент первого.

Пример 1. Множество всех чисел натурального ряда эквивалентно М. всех четных чисел:

пример Множество точек отрезка от О до 1 (0*»ж< 1) эквивалентно М. всех действительных положительных чисел (0<у<оо). Это соответствие устанавливается формулами:

V ~ Г^зс или а! = ГТ1/’

Когда х пробегает все значения от 0 до 1, то у пробегает все значения от 0 до бесконечности, причем их соответствие взаимно однозначно.

Эквивалентность подобна во многих отношениях равночисленности. Так, напр., два М., эквивалентные третьему, эквивалентны между собой.- Для конечных М. понятие эквивалентности прямо переходит в понятие равночис-ленностн.

Всякое целое число есть общее свойство, характеризующее все равночисленные М. Так, число 5 есть то общее, что характеризует все конкретные пятерки вещей, то, что получим из этих пятерок, отвлекаясь в каждой из них от природы составляющих ее элементов и их порядка.

Аналогичное числу элементов равночисленных М. общее свойство всех эквивалентных М. Кантор назвал их мощностью. Мощностью конечного М. является число его элементов. Мощности бесконечных М. Кантор назвал бесконечными кардинальными (количественными) числами. Всякое конечное М. больше своей части, т. е. по сравнению с ней содержит большее число элементов.

Приведенные примеры показывают, что бесконечное М. может быть эквивалентно своей части, т. е. характеризоваться одинаковым с ней бесконечным кардинальным числом. Это п есть первое свойство бесконечных М., к-рое является типичным для них, в отличие от М. конечных.

Второе, более тонкое, основное отличие бесконечных М. от конечных состоит в следующем. Если бы мы захотели фактически пересчитать элементы какого-нибудь конечного М., мы должны были бы расположить их в каком-либо порядке и затем последовательно, в том же порядке, соотносить их с числами натурального ряда. При этом, по какому бы принципу мы ни упорядочили наше конечное М., результат счета не будет зависеть от порядка расположения его элементов.


Иначе обстоит дело в случае бесконечных М. Рассмотрим М., состоящее из чисел, образующих бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, и числа и. Это М. эквивалентно М. чисел натурального ряда; его элементы легко перенумеровать хотя бы следующим образом:

Если построить на прямой точки, соответствующие этим числам в порядке их возрастания.(см. рисунок),

и упорядочивание рассматривать как расположение на прямой слева направо, т. е. в порядке

п... I- ... 1 1 2 1 и, ’ 2» ’ ’ 8 ’ 7 ’ I ’ *•

то перенуме'ровать их в этой последовательности невозможно, так как в натуральном ряде чисел за 1 идет 2, а в нашем ряде за О вообще нет никакого непосредственно следующего элемента. Если 2 эквивалентных М. упорядочены и их элементы могут быть приведены во взаимно однозначное соответствие так, что при этом порядок элементов одного соответствует порядку элементов другого, то эти М. называются подобными.

Общее свойство всех упорядоченных подобных М., т. е. то свойство их, к-рое получается, если отвлечься от природы их элементов, но не от порядка расположения этих элементов, Кантор назвал их порядковым типом. Всякое конечное М. может быть упорядочено лишь по одному порядковому типу. Бесконечному М. соответствует бесконечное М. возможных типов упорядочения его элементов.

Таково второе основное свойство бесконечных М., которое существенно отличает их от конечных.

I Теория М. Георга Кантора есть учение о мощностях и порядковых типах.

Лит.: Грел л инг К., Теория множеств, М.—Л., 1935; Новые идеи в математике, сб. №0—Теория ансамблей, СПБ, 1914 (первые работы Г. Кантора ио теории множеств); Александров 11. и Колмогоров А., Введение в теорию функций действительного переменного, М.—Л., 1933; Валле-Пуссен 111. Ж., Курс анализа Лескоиечно-малых, т. I. Л,-—М., 1933.

МНОЖИМОЕ. В арифметике целых чисел число, повторяемое слагаемым несколько раз, называется М.; число, показывающее, сколько раз М. повторяется слагаемым,—множителем. См. Умножение.

МНОЖИТЕЛЬ—одно из чисел, над которыми производится действие умножения. Если множитель—число целое, то он показывает, сколько раз множимое повторяется слагаемым.

МНОЖИТЕЛЬНЫЕ АППАРАТЫ — приборы и машины, применяемые в конторской технике и дающие, в зависимости от типа конструкции, от ста до нескольких тысяч оттисков в час. Различают следующие типы М. а.: 1) гектограф; 2) М. а., работающие посредством шаблонов (плоские, круглые); 3) М. а. литографского типа (стеклограф, цинковые пластинки); 4) буквопечатные М. а. (плоские, круглые); 5) конторские быстропечатные М.а.(до 3.200 оттисков в час); 6) фотографические множительные аппараты (фотографический М.а. «КопЮрйо^Ооегг» дает 600—700 снимков в час).

МО'А, Di.no гшэ— очень крупные бегающие птицы, жившие не более 500 лет тому назад в Новой Зеландии. Самые крупные виды М. достигали 3 м в высоту. Хорошо сохранившиеся части трупов М. находят в торфе и иле. Найдены также скелеты, яйца и кости М.





Запрещено использование материалов в коммерческих целях.
Вся информация представлена только для ознакомления.